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数学期望常用公式
发布时间：2025-04-02 19:05:21来源：
数学期望的常用公式及其应用
在概率论与统计学中，数学期望是一个核心概念，它描述了随机变量的“平均值”或“中心位置”。简单来说，数学期望是随机变量所有可能取值与其对应概率乘积的总和。这一概念广泛应用于金融、工程、物理学以及人工智能等领域。
数学期望的基本公式
对于离散型随机变量 \(X\)，其数学期望定义为：
\[
E(X) = \sum_{i} x_i P(x_i)
\]
其中，\(x_i\) 是随机变量 \(X\) 的可能取值，\(P(x_i)\) 是对应的概率。
对于连续型随机变量 \(X\)，数学期望则通过积分形式表示：
\[
E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx
\]
这里，\(f(x)\) 是随机变量 \(X\) 的概率密度函数。
常用性质
数学期望具有以下重要性质：
1. 线性性：若 \(a\) 和 \(b\) 是常数，则 \(E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)\)。
2. 独立性：如果两个随机变量 \(X\) 和 \(Y\) 相互独立，则 \(E(XY) = E(X)E(Y)\)。
3. 非负性：若随机变量 \(X \geq 0\)，则 \(E(X) \geq 0\)。
应用实例
假设某公司销售一种商品，每件商品售价为50元，但生产成本为30元。已知市场需求量 \(X\) 是一个随机变量，服从泊松分布，参数为 \(\lambda = 4\)。计算该公司一天内的预期利润。
解法如下：
- 单件商品的利润为 \(50 - 30 = 20\) 元；
- 需求量 \(X\) 的数学期望为 \(E(X) = \lambda = 4\)；
- 因此，一天内的预期利润为 \(E(20X) = 20E(X) = 20 \times 4 = 80\) 元。
通过上述例子可以看出，数学期望能够帮助我们量化不确定性下的长期行为，从而为决策提供科学依据。无论是预测收益还是评估风险，数学期望都是一项不可或缺的工具。
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