三角函数公式大全

三角函数公式大全

三角函数是数学中一个重要的分支，广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域。它以角度为自变量，通过单位圆定义了正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）等基本函数，并由此衍生出一系列重要公式。本文将系统介绍三角函数的基本公式及其应用。

一、基本定义与性质

在直角坐标系中，单位圆上的点 (x, y) 可表示为 cosθ 和 sinθ 的值，其中 θ 是从原点到该点的射线与 x 轴正方向之间的夹角。由此可得：

- 正弦：sinθ = y/r

- 余弦：cosθ = x/r

- 正切：tanθ = y/x （当 x ≠ 0）

此外，还有余切（cotθ = x/y）、正割（secθ = r/x）和余割（cscθ = r/y）。这些函数满足周期性、奇偶性和单调性等特性。

二、基本恒等式

1. 平方关系：

sin²θ + cos²θ = 1

tan²θ + 1 = sec²θ

cot²θ + 1 = csc²θ

2. 和差公式：

sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ

cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ

tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)

3. 倍角公式：

sin2θ = 2sinθcosθ

cos2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ

tan2θ = (2tanθ) / (1 - tan²θ)

4. 半角公式：

sin²(θ/2) = (1 - cosθ)/2

cos²(θ/2) = (1 + cosθ)/2

tan(θ/2) = (1 - cosθ) / sinθ 或 (sinθ) / (1 + cosθ)

三、实际应用

三角函数公式不仅用于解决数学问题，还在物理、建筑、导航等多个领域发挥重要作用。例如，在建筑设计中，工程师利用三角函数计算结构的角度；在天文学中，科学家用三角函数描述星体位置的变化。

总之，掌握三角函数公式是学习更高阶数学知识的基础，也是解决实际问题的关键工具。希望以上内容能帮助读者更好地理解并运用这些公式！

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