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最小二乘法例题及答案
发布时间：2025-04-06 14:33:31来源：
最小二乘法：理论与实践
在数学和统计学中，最小二乘法是一种用于寻找最佳拟合曲线的常用方法。它通过最小化误差平方和来确定数据的最佳拟合模型。这种方法广泛应用于线性回归分析、工程优化以及科学研究等领域。
假设我们有一组二维数据点 \((x_i, y_i)\)，\(i=1,2,...,n\)，希望找到一条直线 \(y = ax + b\) 来描述这些数据点的趋势。这里的 \(a\) 和 \(b\) 是我们需要确定的参数。最小二乘法的目标是最小化所有数据点到这条直线的距离平方和，即：
\[ S(a, b) = \sum_{i=1}^{n}(y_i - (ax_i + b))^2 \]
为了找到最优解，我们对 \(S(a, b)\) 分别求偏导数并令其等于零：
\[
\frac{\partial S}{\partial a} = 0, \quad \frac{\partial S}{\partial b} = 0
\]
解这个方程组可以得到 \(a\) 和 \(b\) 的值：
\[
a = \frac{n\sum(x_iy_i) - \sum x_i \sum y_i}{n\sum(x_i^2) - (\sum x_i)^2}
\]
\[
b = \frac{\sum y_i - a\sum x_i}{n}
\]
举个例子，假设有以下五组数据点：(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)。我们可以计算出 \(a\) 和 \(b\) 的具体数值。
首先计算必要的和：
- \(\sum x_i = 1+2+3+4+5 = 15\)
- \(\sum y_i = 2+3+4+5+6 = 20\)
- \(\sum x_i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 55\)
- \(\sum x_iy_i = 12 + 23 + 34 + 45 + 56 = 70\)
代入公式得：
\[
a = \frac{570 - 1520}{555 - 15^2} = \frac{350 - 300}{275 - 225} = \frac{50}{50} = 1
\]
\[
b = \frac{20 - 115}{5} = \frac{5}{5} = 1
\]
因此，拟合直线为 \(y = x + 1\)。这条直线很好地反映了给定数据点的趋势。通过这种方式，最小二乘法为我们提供了一种简单而有效的工具来处理数据拟合问题。
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