arcsinx求导等于什么

arcsin x 的求导公式及其推导过程

在微积分中，反三角函数的求导是一个重要的知识点。其中，$\arcsin x$（即反正弦函数）的导数具有特定的形式，其公式为：

$$

\frac{d}{dx} \arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \quad -1 < x < 1

$$

这个公式的推导基于反函数的求导法则以及三角函数的基本性质。

首先，设 $y = \arcsin x$，则根据定义，$\sin y = x$，且 $y$ 的取值范围是 $[- \pi/2, \pi/2]$。接下来，我们对两边关于 $x$ 求导。利用隐函数求导法，得到：

$$

\cos y \cdot \frac{dy}{dx} = 1

$$

因此，

$$

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}

$$

由于 $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$，可以得出 $\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y}$。而 $\sin y = x$，所以 $\cos y = \sqrt{1 - x^2}$。将这一结果代入导数表达式中，最终得到：

$$

\frac{d}{dx} \arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

$$

需要注意的是，该公式仅适用于 $-1 < x < 1$ 的区间内。当 $x = \pm 1$ 时，分母变为零，导数不存在。

总之，$\arcsin x$ 的求导公式不仅体现了反函数求导的思想，还展示了数学中逻辑推理与公式推导的魅力。熟练掌握这一内容，有助于解决涉及反三角函数的复杂问题。

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